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一元二次方程

文章发布时间:2015/5/28 17:52:35



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一元二次方程

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一元二次方程的题目   
一元二次方程的题目

一元二次方程,就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程,其一般形式为ax^2+bx+c=0

定义

  只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable )。
   一元二次方程有四个特点
  (1)含有一个未知数;
  (2)且未知数次数最高次数是2;
  (3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.
  (4)将方程化为一般形式:ax^2+bx+c=0时,应满足(a、b、c为常数,a≠0)

补充说明

  1、该部分的知识为初等数学知识,一般在初二就有学习。(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)
  2.该部分是高考的热点。
  3,方程的两根与方程中各数有如下关系: X1+x2= -b/a,
  X1x2=c/a(也称韦达定理
  4,方程两根为x1,x2时,方程为:x^2+(x1+x2)X+x1x2=0(根据韦达定理逆推而得)
  5.b^2-4ac>0有2个不相等的实数根,b^2-4ac=0有两个相等的实数根,b^2-4ac<0无实数根。

一般式

  ax^2+bx+c=0(a、b、c是实数a≠0)
  例如:x^2+2x+1=0

配方式

  a(x+b/2a
)^2=(b^2-4ac)/4a

两根式

  a(x-x1)(x-x2)=0

一般解法

1.配方法

  (可解全部一元二次方程)
  如:解方程:x^2+2x-3=0
  解:把常数项移项得:x^2+2x=3
  等式两边同时加1(构成完全平方式)得:x^2+2x+1=4
  因式分解得:(x+1)^2=4
  解得:x1=-3,x2=1
  用配方法解一元二次方程小口诀
  二次系数化为一
  常数要往右边移
  一次系数一半方
  两边加上最相当

2.公式法

  (可解全部一元二次方程)
  首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
  1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根(初中)
  2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2
  3.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根
  当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式:x={-b±√(b^2-4ac)}/2a
  来求得方程的根

3.因式分解法

  (可解部分一元二次方程)(因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。
  因式分解法是通过将方程左边因式分解所得,因式分解的内容在七年级上学期学完。
  如:解方程:x^2+2x+1=0
  解:利用完全平方公式因式分解得:(x+1﹚^2=0
  解得:x1=x2=-1

4.直接开平方法

  (可解部分一元二次方程)
  如:x^2-24=1
  x^2=25
  x=±5

5.代数法

  (可解全部一元二次方程)
  ax^2+bx+c=0
  同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0
  设:x=y-b/2
  方程就变成:(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0X错__应为 (y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0
  再变成:y^2+(b^22*3)/4+c=0X ___y^2-b^2/4+c=0
  y=±√[(b^2*3)/4+c]X ____y=±√[(b^2)/4+c]
  一元二次方程根与系数的关系
  ax2+bx+c=0
  x1+x2=-b/a
  x1x2=c/a

如何选择最简单的解法

  1、看是否可以直接开方
  2.看是否能用因式分解法解(因式分解的解法中,先考虑提公因式法,再考虑平方公式法,最后考虑十字相乘法)
  3.使用公式法求解
  4.最后再考虑配方法(配方法虽然可以解全部一元二次方程,但是有时候解题太麻烦)。

例题精讲

  1、直接开平方法:
  直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程,其解为x=m±√n
  例1.解方程(1)(3x+1)^2=7 (2)9x^2-24x+16=11
  分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)^2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。
  (1)解:(3x+1)^2=7
  ∴(3x+1)^2=7
  ∴3x+1=±√7(注意不要丢解)
  ∴x= ...
  ∴原方程的解为x1=...,x2= ...
  (2)解: 9x^2-24x+16=11
  ∴(3x-4)^2=11
  ∴3x-4=±√11
  ∴x= ...
  ∴原方程的解为x1=...,x2= ...
  2.配方法:
  例1 用配方法解方程 3x^2-4x-2=0
  解:将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
  将二次项系数化为1:x^2-x=
  方程两边都加上一次项系数一半的平方:x^2-x+( )^2= +( )^2
  配方:(x-)^2=
  直接开平方得:x-=±
  ∴x=
  ∴原方程的解为x1=,x2= .
  3.公式法:把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式,然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。
  当Δ=b^2-4ac>0时,求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a(两个不相等的实数根)
  当Δ=b^2-4ac=0时,求根公式为x1=x2=-b/2a(两个相等的实数根)
  当Δ=b^2-4ac<0时,求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a(两个虚数根)(初中理解为无实数根)
  例3.用公式法解方程 2x^2-8x=-5
  解:将方程化为一般形式:2x^2-8x+5=0
  ∴a=2, b=-8,c=5
  b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
  ∴x= = =
  ∴原方程的解为x1=,x2= .
  4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
  例4.用因式分解法解下列方程:
  (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0
  (3) 6x^2+5x-50=0 (选学) (4)x^2-4x+4=0 (选学)
  (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
  x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
  (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
  ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
  ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
  (2)解:2x^2+3x=0
  x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
  ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
  ∴x1=0,x2=-3/2是原方程的解。
  注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
  (3)解:6x2+5x-50=0
  (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
  ∴2x-5=0或3x+10=0
  ∴x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解。
  (4)解:x^2-4x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)
  (x-2)(x-2 )=0
  ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

小结

  一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数
  直接开平方法是最基本的方法。
  公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算根的判别式的值,以便判断方程是否有解。
  配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。

课外拓展

  一元二次方程
  一元二次方程(quadratic equation of one variable)是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 一般形式为ax^2+bx+c=0, (a≠0)
  在公元前两千年左右,一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中:求出一个数使它与它的倒数之和等于 一个已给数,即求出这样的x与,使
  x=1, x+ =b,
  x^2-bx+1=0,
  他们做出( )2;再做出 ,然后得出解答:+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数,所以负根是略而不提的。
  埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程,例如:ax^2=b。
  在公元前4、5世纪时,我国已掌握了一元二次方程的求根公式。
  希腊的丢番图(246-330)却只取二次方程的一个正根,即使遇到两个都是正根的情况,他亦只取其中之一。
  公元628年,从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中,得到二次方程x^2+px+q=0的一个求根公式。
  在阿拉伯阿尔.花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六种不同的形式,令 a、b、c为正数,如ax^2=bx、ax^2=c、 ax^2+c=bx、ax^2+bx=c、ax^2=bx+c 等。把二次方程分成不同形式作讨论,是依照丢番图的做法。阿尔.花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外,还第一次给出二次方程的一般解法,承认方程有两个根,并有无理根存在,但却未有虚根的认识。十六世纪意大利数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
  韦达(1540-1603)除已知一元方程在复数范围内恒有解外,还给出根与系数的关系。
  我国《九章算术.勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x^2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。

判别方法

  一、教学内容分析
  “一元二次方程的根的判别式”一节,在《华师大版》的新教材中是作为阅读材料的。从定理的推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位,既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况,又可以为今后研究不等式,二次三项式,二次函数,二次曲线等奠定基础,并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习,培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力,以及逻辑思维能力、推理论证能力,并向学生渗透分类的数学思想,渗透数学的简洁美。
  教学重点:根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用
  教学难点:根的判别式定理及逆定理的运用。
  教学关键:对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。
  二、学情分析
  学生已经学过一元二次方程的四种解法,并对 的作用已经有所了解,在此基础上来进一步研究 作用,它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说,学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力,以及逻辑思维能力、推理论证能力。
  三、教学目标
  依据教学大纲和对教材的分析,以及结合学生已有的知识基础,教学目标是:
  根的情况,因此,我们把叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“△(读

列一元二次方程解题的步骤

  (1)分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系;
  

一元二次方程

(2)设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数;
  (3)找出相等关系,并用它列出方程;
  (4)解方程求出题中未知数的值;
  (5)检验所求的答案是否符合题意,并做答.

编辑本段经典例题精讲

  1.对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0.
  2.解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,再考虑用公式法.
  3.一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立.利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况;(2)根据参系数的性质确定根的范围;(3)解与根有关的证明题.
  4.一元二次方程根与系数的应用很多:(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;(3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.

编辑本段韦达定理

  韦达(Vieta's ,Francois,seigneurdeLa Bigotiere)1540年出生于法国普瓦捷,1603年12月13日卒于巴黎。早年在普法捷学习法律,后任律师,1567年成为议会的议员。在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码,赢得很高声誉。法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号,并对方程论做了改进。
  他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年青时学习法律当过律师,后从事政治活动,当过议会的议员,在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究,第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换,发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”)。
  韦达定理实质上就是一元二次方程中的根与系数关系
  韦达定理(Viete's Theorem)的内容
  一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
  设两个根为X1和X2
  则X1+X2= -b/a
  X1*X2=c/a
  韦达定理的推广
  韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个一元n次方程∑AiX^i=0
  它的根记作X1,X2…,Xn
  我们有
  ∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
  ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
  …
  ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
  其中∑是求和,Π是求积。
  如果一元二次方程
  在复数集中的根是,那么
  法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
  由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程
  在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:
  其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
  韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
  韦达定理的证明
  设x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解。
  有:a(x-x1)(x-x2)=0
  所以 ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0
  通过对比系数可得:
  -a(x1+x2)=b ax1x2=c
  所以 x1+x2=-b/a x1x2=c/a
  韦达定理推广的证明
  设x1,x2,……,xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
  则有:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
  所以:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i (在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理)
  通过系数对比可得:
  A(n-1)=-An(∑xi)
  A(n-2)=An(∑xixj)
  …
  A0==(-1)^n*An*ΠXi
  所以:∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
  ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
  …
计算机解一元二次方程
  VB实现方法
  '该代码仅可实现一般形式的求值,并以对话框形式显示。
  dim a,b,c,x1,x2
  '在这里添加a、b、c的赋值过程
  '例如:a=text1.text
  'b=text2.text
  'c=text3.text
  '以上代码为赋值
  if a <> 0 and b <> 0 and c<> 0 then
  if a*2 <> 0 and b^2-4*a*c<>0 then
  x1=((0-b)+Sqr(b^2-4*a*c))/(2*a)
  msgbox x1
  x2=((0-b)-Sqr(b^2-4*a*c))/(2*a)
  msgbox x2
  else
  msgbox("b^2-4*a*c和a不能为零")
  end if
  end if


吴某,男,45岁,3月15日初诊。   患者平时嗜酒如水,食辛辣为常。约5个月之前,自觉右上腹不适,在某医院检查诊为“慢性无黄疸型肝炎”,多次治疗无明显效果,但也未有明显发展,经常自觉右上腹饱满,饮食不香,右季肋部不定时隐疼。3天前因过量饮酒、倍食辣椒后,引起肝区疼痛逐渐加重,上腹胀满,不能进食,肝区疼痛日益加剧,并向背部放射。且因疼不能向右侧侧卧,侧卧则疼痛难忍。因患者是乡村中医,遂要求中医治疗

再忙,也要…… 很特别的一句广告词:【再忙,也要和你喝杯咖啡。】听起来让人很温心且令人! 于是……【再忙,也要和你聊一聊。】【再忙,也要和你说说话。】【再忙,也要email些无聊的东东给你】我们常怕打扰别人,而忽略要打个电话问候对方,久而久之,渐渐疏远、渐渐陌生...直到有一天,连对方的电话号码都忘了...或者,怕对方早忘了你,而没有勇气再打电话给他了....我想现代人应该都是寂寞的吧?因为我



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